Une équation simple

Soit l’équation différentielle suivante :

\begin{equation} y^\prime - ay = 0 \label{eq:diff-simple} \end{equation}

où $a$ une constante. La solution de cette équation est de la forme suivante : $y(x) = Ce^{ax}$. Cela se vérifie très simplement en plaçant $y$ dans l’équation. La constante $C$ est déterminée par les conditions initiales. Par exemple, si l’on a $y(0) = 10$, alors on voit que nécessairement il nous faut $C = 10$.

Maintenant, une équation un peu plus compliquée. Prenons l’équation suivante : \begin{equation} \partial_t T - \alpha\partial_xT = 0 \end{equation}

où $T(x, t)$ est une fonction qui dépend de $x$ et de $t$. On connait la valeur initiale de $T$ en tout point, on a $T(x, 0) = f(x)$. Notre but est de trouver une expression de $T$. On peut remarquer que si l’on pose $A = \alpha\partial_x$, alors on retrouve quasiment la même équation qu’en $\ref{eq:diff-simple}$. On a :

\begin{equation} \partial_t T - AT = 0 \label{eq:diff-operateur} \end{equation}

on dit que $A$ est un opérateur, un opérateur chargé de dériver une fois par rapport à $x$ puis de multiplier par $\alpha$. Étant donné que la forme de l’équation $\ref{eq:diff-operateur}$ est très très proche de la forme de l’équation $\ref{eq:diff-simple}$, on peut se demander si la solution ne serait pas de la même forme… À savoir quelque chose du type « une “constante” multipliée par une exponentielle de quelque chose ». Et bien, c’est que nous allons voir, mais avant cela nous devons définir quelques notions.

Algèbre des opérateurs

Bon, là on va prendre une définition tout à fait informelle de ce qu’est un opérateur, juste pour saisir de quoi il retourne. (Pour plus de détails et de précisions, je vous laisse lire la page wikipédia) Donc grosso-modo, un opérateur est une application qui « fait un truc », par exemple dériver par rapport à une variable, multiplier par une constante, faire une rotation, faire une translation, une addition avec une constante ou une fonction, etc. Bref, ça peut faire un peu tout.

Deux opérateurs peuvent être additionnés, et on a $(O_1 + O_2)f = O_1f + O_2f$. Ils peuvent aussi être multipliés, (ce qui fait une composition), $(O_1×O_2)f = O_1(O_2f)$. C’est à dire qu’on applique $O_2$ à $f$ puis $O_1$ au résultat. Attention, ce n’est PAS communtatif ! Étant donné un opérateur, il existe un autre opérateur, unique, qui est appelé inverse, on le note $O^{-1}$ et on a $OO^{-1}f = O^{-1}Of = f$. Pour finir, on s’intéresse seulement aux opérateurs linéaires, c’est à dire que l’on a :

$$\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{C}, \forall (x_1, x_2) \in E, O(\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda O(x_1) + \mu O(x_2)$$

Voyons ce que l’on peut faire de tout ça…

Exponentielle d’opérateur

Étant donné que l’on peut additionner, multiplier des opérateurs, on peut définir, par exemple, l’exponentielle d’un opérateur en utilisant les séries. Et on a :

\begin{equation} \exp(A) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{A^n}{n!} \end{equation}

Ce qui définit alors un nouvel opérateur noté $\exp(A)$.

On va s’intéresser maintenant à un opérateur particulier, noté $D$. Cet opérateur correspond à dériver par rapport à $x$. On a donc $Df(x) = \frac{d}{dx}f(x)$. Si on multiplie cet opérateur par lui même, $D^2$, on dérive deux fois par rapport à $x$. On a donc $D^n$ qui va dériver $n$ fois. Regardons ce que fait l’exponentielle de cet opérateur, multiplié par une constante $a$.

\begin{equation} \exp(aD) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{a^nD^n}{n!} \end{equation}

Si on applique cet opérateur à une fonction, on a donc :

\begin{equation} \exp(aD)f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{a^nD^n}{n!}f(x) = \sum_{n = 0}^\infty \frac{a^n}{n!}f^{(n)}(x) \end{equation}

En regardant bien ce résultat, on s’aperçoit qu’il s’agit du développement de $f(x + a)$ ! En d’autres termes, $\exp(aD)$ est l’opérateur de translation $T_a$.

Solution de l’équation $\ref{eq:diff-operateur}$

Revenons maintenant à l’équation $\ref{eq:diff-operateur}$, qui est $\partial_tT - AT = 0$. Avec $A$ l’opérateur qui dérive par rapport à $x$ et qui multiplie par $\alpha$. En s’inspirant de la solution de l’équation $\ref{eq:diff-simple}$, nous avons envie de dire que la solution de l’équation est de la forme : $$T(x, t) = \exp(tA)C$$

Il est important de noter que maintenant l’exponentielle est, ici, un opérateur et non plus une fonction comme avant. C’est pour ça que l’ordre est important, car la multiplication des opérateurs n’est pas commutative contrairement à la multiplication des réels. Pour rappel, on a $T(x, 0) = f(x)$. Donc, nécessairement, on a $C = f(x)$. Ainsi on a : $T(x, t) = \exp(tA)f(x)$, or $A = aD$. Donc $T(x, t) = \exp(tcD)f(x)$. On reconnait ici l’opérateur de translation et on trouve :

\begin{equation} T(x, t) = f(x+ct) \end{equation}

On vérifie aisément que la fonction trouvée est bien solution de l’équation initiale. La solution de l’équation est ni plus ni moins que la translation de la forme initiale.

À plus !