Je sais pas si vous avez déjà remarqué, mais dans la littérature des mathématiques appliquées qui traitent des équations différentielles, très souvent on cherche à résoudre des équations du type :
\begin{equation} y^\prime = f(y, t) \end{equation}
Pour cela, il existe plein de méthodes. Les plus connues et utilisées étant, je pense, celles du type Runge-Kutta.
La question qu’on peut se poser est « comme diable puis-je faire si j’ai une équation du second ordre ? » et d’ailleurs, « pourquoi personne ne parle de ces équations ? ». La réponse à ça est simple, on peut ramener une équation du second ordre à une équation du premier ordre ! Et donc appliquer les méthodes connues ! Voyons comment faire…
Vous changerez bien un peu de variable ?
Donc, nous avons l’équation $\ref{eq:2nd}$ à résoudre et seulement des méthodes pour des équations du premier ordre à notre disposition. Comment faire…
\begin{equation} y^{\prime\prime} = f(y^\prime, y, t) \label{eq:2nd} \end{equation}
Je vous ai mis un peu sur la piste avec le titre, nous allons faire un changement de variable. On va poser $Y = \begin{pmatrix} y^\prime \ y\end{pmatrix}^T$. Quelle est la dérivée de ce vecteur ? Et bien tout simplement $Y^\prime = \begin{pmatrix} y^{\prime\prime} \ y^\prime\end{pmatrix}^T$. Or $y^{\prime\prime}$ est défini par la fonction $f$, d’où :
\begin{equation} Y^\prime = \begin{pmatrix}f(Y_0, Y_1) \ Y_0\end{pmatrix}^T = F(Y) \label{eq:1er} \end{equation}
où $Y_0$ et $Y_1$ refèrent à la première et second composante du vecteur $Y$ (soit $y^\prime$ et $y$). Et tadaaa, sous vos yeux ébaillis, on vient de se rammener à une équation du premier ordre. L’idée est simplement de mettre les dérivées dans un vecteur… Maintenant, il n’y a plus qu’à appliquer une méthode connue, par exemple un Runge-Kutta sur $\ref{eq:1er}$, et vous obtenez votre solution $y$ dans le seconde composante de $Y$. C’est pas beau ?
C’est méthode est généralisable à l’ordre $n$ si vous avez une équation du type :
\begin{equation} y^{(n)} = f(y^{(n-1)}, y^{(n-2)}, \ldots, y, t) \end{equation}
Naturellement, plus l’ordre de l’équation à résoudre sera grand, plus votre vecteur $Y$ le sera, mais c’est tout ce qui changera.
Oui mais… si j’ai pas ça.
Oui… mais, si mon équation est du type $y^{\prime\prime} = f(y,t)$, j’fais comment moi ?
Bonne question cher lecteur. Et bien, pour ça, il y a des méthodes dédiées et je te laisse en faire la lecture toi même ;)
À plus !